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Exercice de seconde : "Droite et cercle d'Euler"

"Droite et cercle d'Euler" - exercice n°87 p.168
Source : livre de mathématiques seconde "Le nouveau Pythagore" (Hatier)

AVIS AUX COGITEURS DE TOUS POILS QUI S'Y FROTTERAIENT : vous pouvez utiliser :
- Toutes les bases des maths depuis le primaire jusqu'à la seconde en général ;
- Les propriétés de la géométrie analytique de seconde en particulier, à savoir :
* La formule des coordonnées du milieu d'un segment (I milieu de [AB] si et seulement si I((xA+xB)/2;(yA+yB)/2) ;
* La formule du coefficient directeur d'une droite (Soit la droite (AB):y=mx+p ; alors : m=(yA-yB)/(xA-xB)) ;
* Les propriétés des coefficients directeurs de 2 droites parallèles (Soient (d):y=mx+p et (d'):y=m'x+p' ; si (d)//(d'), alors m=m' et réciproquement) ;
* La formule des coordonnées d'un vecteur (Soit 2 points A et B ; vecteur AB(xA-xB;yA-yB)) ;
* La formule de colinéarité de 2 vecteurs (Soient vecteur u(x;y) et vecteur v(x';y') ; u et v sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y=0) ;
* La formule de la distance entre 2 points (Soient 2 points A et B ; d(A;B)=racine_carrée[(xA-xB)²+(yA-yB)²]) ;
* La méthode expliquée en cours pour déterminer l'équation d'une médiatrice (en principe, on peut la trouver soi-même, mais on nous a donné la méthode donc je l'explique) (Soit (d) la médiatrice de (AB) ; (d) est l'ensemble des points M(x;y) du plan tels que MA=MB ; donc MA²=MB² ; donc (xM-xA)²+(yM-yA)²=(xM-xB)²+(yM-yB)² (le carré permet d'enlever la racine carrée) ; en remplaçant par les valeurs des coordonnées de A et B, puis en développant et réduisant, on obtient l'équation de (d)).

Le repère (0;vecteur i;vecteur j) est orthonormal.
On considère les points A(-2;2), B(-3;-5) et C(6;-2). On désigne par A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
P, K et L sont les pieds des hauteurs issues de A, B et C respecivement.

1. a) Déterminer une équation de la médiane (AA') et une équation de la médiane (BB').

b) Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection G.

c) Vérifier que G, C et C' sont alignés.

2. a) Déterminer une équation de la médiatrice delta de [BC], puis une équation de la médiatrice delta' de [AC] (indication : delta est l'ensemble des points du plan vérifiant MB = MC).

b) Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection O.
Calculer le rayon R du cercle circonscrit au triangle ABC.

3. a) Déterminer une équation de la hauteur (AP), puis une équation de la hauteur (BK) (indication : (AP) est parallèle à delta).

b) Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection H.

4. Vérifier l'alignement de O, G et H.

5. Soit omega le milieu du segment [OH].
Montrer que les points A', B', C', P, K et L appartiennent au cercle (C) de centre omega et de rayon R/2.

6. Soient enfin, I, J et N les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].
Vérifier que ce sont 3 points du cercle (C).

Ecrit par SniperMaske, le Samedi 12 Avril 2003, 20:16 dans la rubrique "Enigmes et devinettes".
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Commentaires:

Ecrit par SniperMaske le Samedi 12 Avril 2003, 20:23

Au passage... à la question 5., pour démontrer que L est sur (C), j'ai balancé des calculs d'équations de droites pour le calcul des coordonnées de L (c'est à ça que je faisais référence dans les oneliners quand je disais que j'y étais allé comme un bourrin), prévenez-moi si vous trouvez plus simple.

P.S. : Non je ne triche pas, je l'ai déjà fait ce devoir maison, qu'est-ce que vous imaginiez ?

Suite de mon commentaire (je viens de remarquer qu'on peut désormais éditer ses propres commentaires, MÂRCI monsieur asdepic ;)) : je sais pas si vous connaissez, mais il y a un concours annuel de maths qui s'appelle le concours Kangourou, peut-être que je vous poserai certaines énigmes qui en seront tirées... les questions ne sont pas longues, la réflexion l'est plus ;)